Fungsi Kuadrat

1. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umumnya adalah: , dengan suatu bilangan real dan .

Contoh: .

Dengan demikian, , , dll.

2. Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika dan terbuka ke bawah jika .

Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:

Pertama, tentukan titik potong terhadap sumbu , yaitu nilai saat . Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat .

Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu , yaitu nilai saat .

Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

atau .


Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

.

Di mana D adalah diskriminan, yaitu .

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi .

Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat :



Contoh Soal:

1. Jika mempunyai nilai minimum , tentukanlah nilai .

Jawab:

Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak .

Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat:

Titik puncak = .

.


Dengan demikian, .

3. Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Jika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu di dua titik yang berlainan, menyinggung sumbu , atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu .

Berikut ini sifat-sifatnya:

Jika merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat , maka:

Jika , maka grafik memotong sumbu pada dua titik yang berbeda

Jika , maka grafik menyinggung sumbu x pada satu titik.

Jika , maka grafik tidak memotong sumbu .
Menyusun Fungsi Kuadrat Baru

Kita dapat menyusun fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga informasi ini diketahui, yaitu:
Jika diketahui melewati tiga titik, yaitu , dan , maka bentuk fungsinya dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai koordinat ketiga titik tersebut ke persamaan . Dengan demikian, akan didapat tiga persamaan linear dalam , dan . Selanjutnya, tentukan nilai , dan dengan menggunakan metode eliminasi/substitusi.
Jika diketahui memotong sumbu di titik dan , serta melalui satu titik lain (, maka bentuk fungsinya adalah:
. Titik ketiga, yaitu digunakan untuk mendapatkan nilai pada bentuk fungsi di atas.
Jika diketahui melalui titik puncak dan satu titik lain (, maka bentuk fungsinya adalah .

Contoh soal:
Tentukanlah bentuk fungsi kuadrat yang memotong sumbu pada titik dan , serta melalui titik A.

Jawab:Karena diketahui titik potong terhadap sumbu dan melewati satu titik lain, maka kita dapat menggunakan bentuk (2) di atas, yaitu .

Dengan demikian:

.

Karena melewati titik , maka:

.

.

Jadi, bentuk fungsi kuadrat nya adalah .

CB Blogger